Asymptotic Estimates K-Level Crossings of a Random Algebraic Polynomial

Abstract

This  paper  provides  asymptotic  estimates  for  the  expected number  of  real  zeros  and  k-level  crossings  of  a  random  algebraic polynomial  of  the  form

a0(n-1 c ₀)^1/2 + a1(n-1 c ₁)^1/2 x  + a2(n-1 c ₂)^1/2 x²  + …+a_n-1(n-1 c _n-1)^1/2x^n-1,

where  a_J (J=0, 1, 2, … , n-1 )  are  independent  standard  normal  random variables  and  k  is  constant  independent  of  x . It is  shown  that  these  asymptotic  estimates  are  much  greater  than  those  for  algebraic  polynomials  of  the  form    a0 + a1 x + a2 x² + … + a_n-1x^n-1 .