How Many Number of Real Zeros of A Random Trigonometric Polynomial

Abstract

Let  EN( T; Φ’ , Φ’’ )  denote  the  average  number  of  real  roots  of  the  random  trigonometric  polynomial

T=T_n( θ, ω )=

In the interval (Φ’ , Φ’’ ). Clearly , T can  have  at  most  2n zeros  in  the  interval ( 0, 2π ) .Assuming that  a_k(ω )s  to  be  mutually independent  identically  distributed  normal random  variables , Dunnage has  shown  that  in  the  interval  0 ≤ θ ≤ 2π  all  save  a  certain  exceptional  set  of  the  functions  (T_n ( θω ))  have   zeros  when  n  is  large. We consider  the  same  family  of  trigonometric  polynomials  and  use  the  Kac_rice  formula  for  the  expectation  of  the  number  of  real  roots  and  obtain  that 

EN ( T ;  0 , 2π ) ~   

This  result  is  better  than  that  of  Dunnage  since  our  constant  is  (1/√2)

Times  his  constant  and  our  error  term  is  smaller . the  proof  is  based  on  the  convergence  of  an  integral  of  which  an  asymptotic  estimation  is  obtained.